確率分布

\(X^2\)分布

概要

  • \(X^2\)分布は母分散の区間推定、適合度検定、独立性の検定を行う際に使用する。
  • \(X^2\)分布は、自由度によって形が異なる分布。
    • 自由度が大きくなればなるほど緩やかに正規分布に近づく。らしい

\(X^2\)分布の性質

  1. 期待値と分散 k = 自由度
\[ E[X] = k, V[X] = 2k\]

2.独立の確率変数\(X_1\)\(X_2\)の自由度が\(k_1\)\(X_2\)だとすると、\(X_1\)+\(X_2\)は 自由度\(k_1\)+\(X_2\)\(X^2\)(\(k_1\)+\(X_2\))に従う。

3.母分散の信頼区間を求めるには、\(X^2\)分布を使用する。下記の式で表される\(X^2\)が自由度(n-1)のカイ二乗分布に従うことを用いて母分散の信頼区間を求める。

\[X^2 = \frac{(n-1)s^2}{σ^2} \]

母分散の信頼区間を求めるには下記の式を利用する。

\[ \frac{(n-1)s^2}{X^2_{a/2}(n-1)} \leq{} σ^2 \leq{} \frac{(n-1)s^2}{X^2_{1-a/2}(n-1)}\]